10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Senaryo 3 Soruları ve Cevapları

Düz bir arazide bir kulenin tabanı T, tepesi K noktasıdır. T, B ve A noktaları bu sırayla aynı doğru üzerindedir ve |AB| = 40 m'dir. K noktası A'dan 30°, B'den 60° yükselme açısıyla görülmektedir. Gözlemcilerin boyu ihmal edilecektir.

a) Kenar uzunluğu 2 birim olan eşkenar üçgeni ortadan ikiye bölerek tan 30° ve tan 60° değerlerini elde ediniz.

b) Kulenin yüksekliğini ve |BT| uzaklığını bulunuz.

c) |BK| uzunluğunu sinüs oranıyla hesaplayınız. Sonucun |AB| ile ilişkisini ABK üçgeninin açılarına dayanarak açıklayınız.

Bir binanın yangın merdiveni, duvara dayalı bir doğru parçası gibi düşünülmektedir. Merdivenin alt ucu duvardan yatayda 8 m uzaktadır, üst ucu 15 m yüksekliktedir ve merdivenin uzunluğu 17 m'dir. Merdivenin zeminle yaptığı açı α, duvarla yaptığı açı β'dır.

a) sin α, cos α, tan α ve cot α değerlerini yazınız.

b) Bulduğunuz değerlerle sin²α + cos²α ve tan α · cot α sonuçlarını hesaplayınız.

c) sin β ve cos β değerlerini yazınız. Bir dik üçgendeki iki dar açının sinüs ve kosinüs değerleri arasında nasıl bir ilişki olduğunu nedeniyle açıklayınız.

Dar açısı x olan bir dik üçgende x açısının karşısındaki dik kenar a, komşu dik kenar b, hipotenüs c olsun.

a) Pisagor teoreminden yararlanarak sin²x + cos²x = 1 özdeşliğini ispatlayınız.

b) sin x = 3/5 ise cos x, tan x ve cot x değerlerini bulunuz.

c) (1 − cos²x)/(sin x · cos x) ifadesinin tan x'e eşit olduğunu gösteriniz ve b şıkkındaki değerle sonucu doğrulayınız.

ABC üçgeni biçimindeki bir parkta A köşesindeki açı diktir. |AB| = 9 m ve |AC| = 12 m'dir. Parka üç düzenleme yapılacaktır.

a) Her düzenleme için hangi yardımcı elemanların kesişim noktasının kullanılacağını yazınız.

b) Sulama başlığının yerini belirleyiniz ve köşelere uzaklığını gerekçesiyle bulunuz.

c) Heykelin A köşesine uzaklığını hesaplayınız.

ç) Bankın kenarlara uzaklığını hesaplayınız.

ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 15 cm'dir. AD, A açısının iç açıortayıdır ve D noktası BC kenarı üzerindedir.

a) ABD ve ACD üçgenlerinin alanlarını iki farklı yolla oranlayarak |BD|/|DC| = |AB|/|AC| olduğunu gösteriniz.

b) |BD| ve |DC| uzunluklarını bulunuz.

c) Üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktası I olsun. |AI|/|ID| oranını bulunuz.

Üçgen biçimindeki bir arsanın tabanı 40 m, bu tabana ait yüksekliği 30 m'dir. Aşağıdaki değişiklikler ayrı ayrı incelenecektir.

a) Başlangıçtaki alanı hesaplayınız.

b) 1. ve 2. durumlardaki yeni alanları bulunuz. Alanın kaç katına çıktığını yazınız.

c) 3. durumdaki yeni yüksekliği bulunuz.

ç) 4. durumda alanın değişip değişmediğini gerekçesiyle açıklayınız. Yükseklik sabitken alan ile taban arasındaki ilişkiyi yazınız.

Dar açılı ABC üçgeninde |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c olsun. C köşesinden AB kenarına inen dikmenin ayağı H noktasıdır.

a) |AH|, |CH| ve |BH| uzunluklarını b, c ve A açısına bağlı olarak yazınız.

b) CHB dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak a² = b² + c² − 2bc · cos A eşitliğini ispatlayınız.

c) Bir tekne limandan çıkıp bir doğrultuda 8 km gitmektedir. Aynı limandan çıkan ikinci tekne, birincinin rotasıyla 60° açı yapan doğrultuda 5 km gitmektedir. İki tekne arasındaki uzaklığı bulunuz.

ç) A = 90° olduğunda teoremin hangi teoreme dönüştüğünü gösteriniz.

Bir okuldaki öğrenci kulübü, düzenli spor yapma ile yeterli uyku uyuma arasında ilişki olup olmadığını araştırmaktadır. 280 öğrenciden aşağıdaki veriler elde edilmiştir.

a) Bu araştırma için bir araştırma sorusu yazınız ve iki kategorik değişkeni belirtiniz.

b) Spor durumuna göre koşullu göreli sıklıkları hesaplayınız.

c) Bulgulara göre iki değişken arasındaki ilişkililik hakkında karar veriniz.

ç) "Spor yapmak uykuyu düzeltir." cümlesinin bu veriye dayanarak söylenip söylenemeyeceğini gerekçesiyle tartışınız.

Bir okulda ulaşım biçimi ile derse geç kalma arasındaki ilişki incelenmiştir. Tabloda bazı sayılar boş bırakılmıştır.

Bir öğrenci "Servisle gelen 25 kişi geç kalmış, yürüyerek gelen 15 kişi geç kalmış. Demek ki servisle gelenler daha çok geç kalıyor." demiştir.

a) Tablodaki boş hücreleri tamamlayınız.

b) Her ulaşım biçimi için geç kalma koşullu göreli sıklığını hesaplayınız.

c) Öğrencinin yorumunu değerlendiriniz ve ilişkililik hakkında karar veriniz.

ç) Koşullu göreli sıklıkları gösteren kümeli sütun grafiğinde sütunların nasıl görüneceğini sözle açıklayınız.