10. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Senaryo 4 Soruları ve Cevapları

Bir binanın yangın merdiveni, duvara dayalı bir doğru parçası gibi düşünülmektedir. Merdivenin alt ucu duvardan yatayda 8 m uzaktadır, üst ucu 15 m yüksekliktedir ve merdivenin uzunluğu 17 m'dir. Merdivenin zeminle yaptığı açı α, duvarla yaptığı açı β'dır.

a) sin α, cos α, tan α ve cot α değerlerini yazınız.

b) Bulduğunuz değerlerle sin²α + cos²α ve tan α · cot α sonuçlarını hesaplayınız.

c) sin β ve cos β değerlerini yazınız. Bir dik üçgendeki iki dar açının sinüs ve kosinüs değerleri arasında nasıl bir ilişki olduğunu nedeniyle açıklayınız.

Dar açısı x olan bir dik üçgende x açısının karşısındaki dik kenar a, komşu dik kenar b, hipotenüs c olsun.

a) Pisagor teoreminden yararlanarak sin²x + cos²x = 1 özdeşliğini ispatlayınız.

b) sin x = 3/5 ise cos x, tan x ve cot x değerlerini bulunuz.

c) (1 − cos²x)/(sin x · cos x) ifadesinin tan x'e eşit olduğunu gösteriniz ve b şıkkındaki değerle sonucu doğrulayınız.

ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 15 cm'dir. AD, A açısının iç açıortayıdır ve D noktası BC kenarı üzerindedir.

a) ABD ve ACD üçgenlerinin alanlarını iki farklı yolla oranlayarak |BD|/|DC| = |AB|/|AC| olduğunu gösteriniz.

b) |BD| ve |DC| uzunluklarını bulunuz.

c) Üçgenin iç açıortaylarının kesişim noktası I olsun. |AI|/|ID| oranını bulunuz.

ABC üçgeni biçimindeki bir parkta A köşesindeki açı diktir. |AB| = 9 m ve |AC| = 12 m'dir. Parka üç düzenleme yapılacaktır.

a) Her düzenleme için hangi yardımcı elemanların kesişim noktasının kullanılacağını yazınız.

b) Sulama başlığının yerini belirleyiniz ve köşelere uzaklığını gerekçesiyle bulunuz.

c) Heykelin A köşesine uzaklığını hesaplayınız.

ç) Bankın kenarlara uzaklığını hesaplayınız.

ABC üçgeninin alanı 60 cm²'dir. D noktası BC kenarı üzerindedir ve |BD| : |DC| = 2 : 3'tür. E noktası AD üzerindedir ve |AE| : |ED| = 1 : 2'dir.

a) ABD ve ADC üçgenlerinin alanlarını gerekçesiyle bulunuz.

b) BED ve CED üçgenlerinin alanlarını bulunuz. BEC üçgeninin alanını yazınız.

c) ABC üçgeninin bütün kenarları 3 katına çıkarılırsa alanın kaç cm² olacağını taban ve yükseklik değişimine dayanarak açıklayınız.

Üçgen biçimindeki bir arsanın tabanı 40 m, bu tabana ait yüksekliği 30 m'dir. Aşağıdaki değişiklikler ayrı ayrı incelenecektir.

a) Başlangıçtaki alanı hesaplayınız.

b) 1. ve 2. durumlardaki yeni alanları bulunuz. Alanın kaç katına çıktığını yazınız.

c) 3. durumdaki yeni yüksekliği bulunuz.

ç) 4. durumda alanın değişip değişmediğini gerekçesiyle açıklayınız. Yükseklik sabitken alan ile taban arasındaki ilişkiyi yazınız.

ABC üçgeninde kenar uzunlukları |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c'dir.

a) Üçgenin alanını üç farklı biçimde (1/2)bc · sin A, (1/2)ac · sin B, (1/2)ab · sin C olarak yazarak sin A/a = sin B/b = sin C/c eşitliğini gösteriniz.

b) Açıları 30°, 60°, 90° olan ve kenarları 1, √3, 2 olan üçgende bu eşitliği doğrulayınız.

c) A ve B gözlem istasyonları arasındaki uzaklık 60 km'dir. Bir gemi C noktasındadır. A açısı 45°, B açısı 75° ölçülmüştür. Geminin B istasyonuna uzaklığını bulunuz.

Dar açılı ABC üçgeninde |BC| = a, |AC| = b, |AB| = c olsun. C köşesinden AB kenarına inen dikmenin ayağı H noktasıdır.

a) |AH|, |CH| ve |BH| uzunluklarını b, c ve A açısına bağlı olarak yazınız.

b) CHB dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak a² = b² + c² − 2bc · cos A eşitliğini ispatlayınız.

c) Bir tekne limandan çıkıp bir doğrultuda 8 km gitmektedir. Aynı limandan çıkan ikinci tekne, birincinin rotasıyla 60° açı yapan doğrultuda 5 km gitmektedir. İki tekne arasındaki uzaklığı bulunuz.

ç) A = 90° olduğunda teoremin hangi teoreme dönüştüğünü gösteriniz.